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沈括对数学的造诣很深，成就颇大，在数学史上占有重要地位。日本数学史家三上义夫对沈括的数学成就有很高的评价，认为他是“中国算学的模范人物”，“多艺多能”，且有“经世才”。沈括《梦溪笔谈》记述了许多关于数学的创见。有关数学知识有九条，加上度量衡三条加入数学类，共有十二条。其中以《梦溪笔谈》卷十八第301条所记“隙积术”和“会圆术”为最重要，是沈括在我国古代数学上的独特创造。用他自己的话来说：“此二类皆造微之术，古书所不列者”，故把它记录下来。《笔谈》第301条写道： 算术求积尺之法，如刍萌、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术。古法，凡算方积之物，有立方，谓六幕皆方者。其法再自乘则得之。有“堑堵”，谓如土墙者，两边杀，两头齐。其法并上下广，折半以为之 广，以直高乘之。又以直高为股，以上广减下广，余者半之为勾。勾股求弦，以为斜高。有刍童，谓如覆斗者，四面皆杀，其法倍上长加入下长，以上广乘之，倍下长加入上长，以下广乘之，并二位，以高乘 之，六而一。“隙积”者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。余思而得之，用刍童法为上行（位）、下行（位），别列下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上行（位）。（原注：假令积罂，最上行纵横各二罂，最下行各十二罂，行行相次。先以上二行相次，率至十二；当十一行也。以刍童法求之，倍上行长得四，并入下长得十六，以上广乘之，得三十二，又倍下长得十六，并入上长得四十六，以下广乘之，得三百一十二。并二位得三百四十四，以高乘 之，得三千七百八十四。重列下广十二，以上广减之余十，以高乘之，得一百一十，并入上行（位），得三千八百九十四。六而 一，得六百四十九，此为罂数也。刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。） 履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。古法惟以中破圆法拆之，其失有及三倍者。余别为拆会之术，置圆田，径半以为弦，又以半径减去所割数，余者为股，各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径，以所割之数自乘，退一位倍之。又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧，再割亦如之，减去已割之数，则再割之数也。（原注：假令有圆田，径十步，欲割二步，以半径为弦，五步自乘得二十五，又以半径减去所割二步，余三步为股，自乘得九，用减弦外，有十六，开平方，除得四步为勾，倍之，为所割直径，以所割之数二步自乘为四，倍之得为八，退上一位为四尺，以圆径除。今圆径十，已是盈数，无可除，只用四尺加入直径，为所割之弧，凡得圆径八步四尺也。再割亦依此法。如圆径二十步求弧数，则当拆半，乃所谓以圆径除之。）此二类皆选微之术，古书所不到者，漫志于此。 上述沈括首创的“隙积术”是《九章算术》中“刍童术”的发展，是求解垛积问题的方法，即高阶等差级数求和的问题。“会圆术”是已知圆的直径和弓形的高，求弓形的弦长和弧长之方法。说通俗一点，“隙积术”是用以计算有空隙的立体体积。“会圆术”是计算圆弓形的弧长。这种计算公式，是沈括在我国古代数学上的重大发明。据王骧先生研究，沈括在实践中发明的“隙积术”，首次运用了高阶等差级数求和的方法，是他在中国数学史上的重要贡献之一。“隙积术”的发明主要是他治理汴渠筑坝和研究城防壁障等方面计算所需用土石方、砖块等工作中总结出来的一种算法。“会圆术”是他在丈量土地、绘制地图、测算天象等工作中为计算弧长而提出来的一种既精确又简易的方法。（王骧《梦溪笔谈》全注本下册，第9页、第14页，镇江市政协文史资料委员会编，1998年版。）可见沈括的科技发明创造是来自实践，很有独特之处。沈括的这两项发明开辟了中国传统数学研究的新方向，贡献巨大。 
《梦溪笔谈》内页
除此之外，据《梦溪笔谈》记载，沈括还把数学知识用于天文历法的计算方面，又曾用数学研究围棋的局数和军粮的运输，提出“运粮之法”。他的数学研究既精通又实际，很奇特，令人赞叹不已！ 在物理学方面，沈括的研究是很广泛的。《梦溪笔谈》中有关物理学的条文约有四十条（包括声学、乐律方面二十一条）。他对自然科学领域的各种现象，都喜欢“原其理”，加以研究或做实验，因而对物理科学的发展作出了许多贡献。诸如：《梦溪笔谈》卷三第44条，形象生动记述了阳燧（凹面镜）的物理性能。他进行了凹面镜成像焦点与成像的实验，得到了较《墨经》前进一步的结果。凹面镜向日取火，这在《庄子》和《淮南子》古籍中早有记载，但无焦距具体数值。《梦溪笔谈》记录焦距为一二寸，“光聚为一点，大如麻菽”，这是新的发现。他把针孔成像与凹面镜成像用“碍”这个概念联系起来，提出“格术”。“本末相格”即现代光学中的等角空间变换关系。这也是一个新进展。 《梦溪笔谈》卷十九第330条记述沈括家藏的三个透光铜镜。这种透光镜，又称透光鉴，是一种背面有图纹的特制铜镜，在阳光照射下，镜面反射的光射到墙上，会出现和镜背图纹相应的花纹。据记载，这种镜在汉代就有了。沈括这条记载，是试图解释其所以透光的原理。他说“古人别自有术”。这是一条珍贵的记录，对后世很有启发。现代物理科学已经了解了这种透光的原理。沈括对透光镜细心观察和实验，比西方类似的实验要早数百年，可见他的研究领先于世界。 此外，沈括对光学仪器、大气光象、声学共振、虹、海市蜃楼、雷电、潮汐、乐律（从声学角度）等许多方面作了观察、查访和研究，提出自己的见解。在《良方》《梦溪忘怀录》等著述中也有物理学知识的内容，涉及面极广。
文章原名《沈括与数理科学》 | 
